IEEE 754 - Gleitkommazahlen

Der Standard, der festlegt, wie Computer mit Kommazahlen rechnen

Was ist IEEE 754?

Der IEEE 754 Standard definiert, wie Gleitkommazahlen in Computern dargestellt und verarbeitet werden. Er wurde 1985 verabschiedet und ist heute in fast jeder CPU implementiert.

Eigenschaften

Binäre Darstellung (Basis 2)
Vorzeichen, Exponent, Mantisse
Genormte Rundungsregeln
Sonderwerte: ∞, NaN, ±0

Formate

Single Precision (32 Bit) – float
Double Precision (64 Bit) – double
Half Precision (16 Bit) – in GPUs
Quadruple (128 Bit) – selten

1. IEEE 754 Rechner

Dezimalzahl eingeben:

Format:

Single (32 Bit) Double (64 Bit)

2. Ergebnisse

Vorzeichen (1 Bit)

Exponent (8 Bit)

Mantisse (23 Bit)

Binär

01000000010010001111010111000011

Hexadezimal

0x4048F5C3

Rundungsfehler

1.2e-7

Erklärung

3.14 wird als 0x4048F5C3 dargestellt. Die tatsächliche gespeicherte Zahl ist 3.1400001049041748. Der Rundungsfehler beträgt 1.2e-7.

3. Das berühmte Beispiel: 0.1 + 0.2

0.1 + 0.2 =
0.30000000000000004

Warum? 0.1 und 0.2 können im Binärsystem nicht exakt dargestellt werden (periodische Brüche). Bei der Addition addieren sich die Rundungsfehler.

Interne Darstellung

0.1 in IEEE 754: 0x3DCCCCCD
0.2 in IEEE 754: 0x3E4CCCCD
Summe exakt: 0.30000000000000004

4. Beispiele

Pi (3.14159)

Eulersche Zahl (2.71828)

0.1 (periodisch)

Große Zahl (1e10)

Kleine Zahl (1e-10)

Weitere interessante Beispiele

0.1 (periodisch im Binärsystem)

0.001 (periodisch)

Unendlich (∞)

NaN (Not a Number)

Null (-0 und +0)

5. Sonderwerte in IEEE 754

Wert	Vorzeichen	Exponent	Mantisse	Bedeutung
+0	0	0	0	Positive Null
-0	1	0	0	Negative Null
+∞	0	255 (single)	0	Positiv unendlich
-∞	1	255 (single)	0	Negativ unendlich
NaN	beliebig	255 (single)	≠ 0	Not a Number
Denormal	beliebig	0	≠ 0	Sehr kleine Zahlen

Praktische Tipps für Programmierer

Gleitkommazahlen niemals auf exakte Gleichheit prüfen (if (x == 0.1) ist gefährlich!)
Stattdessen mit einer Toleranz (Epsilon) vergleichen: if (Math.abs(x - 0.1) < 0.000001)
Für Geldbeträge Dezimalformate verwenden (z.B. decimal in C#, BigDecimal in Java)
In Datenbanken: DECIMAL statt FLOAT für Finanzdaten

Single Precision Double Precision Rundungsfehler